martes, noviembre 27, 2007

El disparate de la memoria de las monedas

Hace unos días, recomendando un libro de divulgación de matemáticas para niños -de probabilidad más específicamente- dije:

... me encuentro anuméricos que están convencidos de que si uno avienta 99 veces una moneda que ha caído en puros soles creen que la tirada número 100 es más probable que caiga un sol que un águila ...

Recibí la siguiente respuesta a esa afirmación (enfatizo la parte que me parece absurda).

En la práctica, si uno avienta 99 veces una moneda que ha caído en puros soles, es mas probable que salga sol. Aqui si hay memoria porque es la misma moneda. En el melate cambian las bolas en cada sorteo.

Los dados que utilizan en los casinos los cambian continuamente para que nadie que este observando su comportamiento saque ventaja de lo cargado que este.

Yo, que había supuesto que era obvio que me refería a una moneda no truqueada (como las que cargamos en los bolsillos la mayoría de nosotros) me pitorree de la idea de que una moneda adquiriera, con base en volados, voluntad o memoria para caer nomás de un sólo lado.

Por pitorrearme recibí el siguiente revire (vuelvo a enfatizar lo que encuentro disparatado):

...su composición no homogenea [la de la moneda]y su simetria puede favorecer algún resultado. (por eso el ejemplo de los dados que no entendiste).

Si tu ejemplo lo pasas a las matemáticas, tienes una función F(n) que puede tener dos "aparentes" valores, y digo aparentes porque hasta el momento en tu planteamiento NUNCA has obtenido un valor diferente de sol. Si calculas la probabilidad asociada a este experimento te dará una probabilidad de 1 para sol. Eso no quiere decir que va a salir sol en la siguiente tirada, solo es probabilidad, que si depende de los resultados que vas obteniendo para calcularla.
Tengo presente las clases de física experimental donde tienes que primero hacer muchos experimentos y después interpretarlos para establecer una función que los modele.

Yo concluiría lo siguiente:
1. En teoría, una moneda tiene 50% de probabilidad de caer águila.
2.- En la práctica esa probabilidad se puede determinar.
3.- En tu ejemplo, esa probabilidad es 1. (hasta el momento)
4.- En una siguiente tirada, no se descarta que salga águila, pero si estuviera en las vegas jugando volados, pedía sol.

Aquí hay varios malentendidos (ninguno mío pues yo no hablaba de monedas truqueadas, ni de juegos en las Vegas, ni de dados o monedas deformes).

Vamos a analizar la pregunta nuevamente y a echar un ojo escéptico a las afimaciones del lector que dice que las monedas tienen memoria y que la probabilidad del evento que pongo como ejemplo es 1.

Antes que nada una aclaración. Si metemos la mano a nuestra bolsa y sacamos una moneda, no hay manera de saber cuántas veces ha sido usada para echar un volado, ni de qué lados haya caído. Y definitivamente tampoco lo sabe la moneda.

Lo anterior es una obviedad pero lo tengo que decir para que no se crea que a la moneda le importa lo que se haya hecho con ella antes; con lo que la parte de la réplica que dice " hasta el momento en tu planteamiento NUNCA has obtenido un valor diferente de sol " nomás tiene sentido en la cabeza del que escribió eso.

Ahora bien supongamos que con una moneda que no está truqueada echamos 99 volados y asombrosamente (para los anuméricos a mí no me asombraría nadita) obtenemos 99 soles.

¿Cuáles son las probabilidades de que ocurra eso?

Para responder esa pregunta hay que contar el número de resultados posibles de aventar 99 volados.

El número de resultados posibles es 299. ¿Cómo obtuvimos ese número? Pues contando. Usemos un diagrama de árbol para ejemplificar. Hagamoslo con 2 lanzamientos primero.




Se obtienen 4 resultados, es decir 22.

Ahora con 3 lanzamientos.


Se obtienen 8 resultados, es decir 23

¿Ven algún patrón? El número de volados posibles al hacer n lanzamientos es 2n. Nota: Si uno es computito verá que la lista de n volados es una cuenta binaria.

Nos falta otra cosa para obtener la probabilidad. Necesitamos saber cuántos de esos resultados posibles cumplen la condición de que sean 99 soles. Por extensión del diagrama que ya hemos hecho contamos que hay sólo UNA manera de obtener puros soles.

Ahora bien, regresando a nuestro ejemplo la probabilidad de que al hacer 99 volados obtengamos 99 soles es 1/299. Una probabilidad muy pequeña. Para más referencia esa probabilidad es mucho más pequeña que obtener el primer premio del melate.

¿Pero ello es argumento para que digamos que en un centésimo lanzamiento la probabilidad de que caiga de un lado sea diferente a la de que caiga del otro?

La respuesta es no. Cada lanzamiento tiene una probabilidad de ½ de caer sol (o águila). Sin importar qué haya caido antes.

Echemos otra vez la moneda al aire por 100ma ocasión. Antes de que la moneda toque el suelo calculemos las probabilidades de obtener cien soles seguidos.

Si la moneda tiene ½ de oportunidades de caer sol entonces hay que multiplicar la probabilidad 1/299 por ½. Lo que nos da 1/2100. Que sumado al resto de posibles resultados de 100 volados nos da 1 (pues hay 2100 posibilidades distintas todas con un valor de 1/2100 de ocurrir). Pero el lector dice que por alguna razón misteriosa -que no especifica- las posibilidades de que caiga sol aumentaron y la de que caiga aguila disminuyeron. ¿Qué tanto aumentaron? Pues 1, nos recuerda.

La moneda sigue en el aire y tenemos que multiplicar la probabilidad de obtener 99 soles (1/299) con un número que es 1, ya no con ½, para obtener la probabilidad de sacar 100 soles.

¿Ven lo absurdo de la propuesta? ¿Hay que redefinir el cálculo de probabilidades nomás para introducir la creencia de que la moneda adquiere un afán por seguir cayendo sólo de un lado y no del otro? ¿Y a qué horas adquirió ese afán, en el décimo sol, en el vigésimo sol, o hasta el sol número 99?

Corolarios de esta discusión bizantina:

1. La probabilidad de obtener 100 soles seguidos es igual a la de obtener 50 soles seguidos y luego 50 aguilas y es igual a la de obtener 100 aguilas y es igual a la de obtener 1 aguila, 1 sol, 1 aguila... y así sucesivamente.

2. No hay que confundir predicciones con resultados. Lo primero se trata de calcular cuál es el resultado más probable pero eso puede ser muy distinto al resultado real. En eventos independientes (como lo son la tirada de volados y jugar melate) esta noción es indispensable.

3. No es la misma probabilidad la de obtener 100 soles seguidos (1 evento) a la de obtener un sol después de haber obtenido 99 soles (2 eventos independientes).

pd. Una ovación de pie a quien me diga cuál es la probabilidad de obtener 50 aguilas y 50 soles sin importar el orden. Pista: No le hagan caso a la noción pitera de que para calcular resultados de volados hay que experimentarlos, pfff. Usen mejor un triángulo de Pascal.

26 comentarios :

Miguel del Vailongo dijo...

Según yo, en cualquier volado es mas probable que caiga sol, por que del lado del águila hay mas... materia y de cierta forma, aunque mínima, la moneda tiende a caer sobre ese lado.

Pero no me hagas caso, vengo pedo

LabJournal dijo...

Los cuando estamos en la licenciatura los proto-biólogos usamos ese principio pero para calcular la probabilidad de que un bicho tenga un genotipo de acuerdo al que muestra su progenie. Divertidisimo!! Cuando nos titulamos mejor hacemos un microarray!!(comentario noño y fuera de lugar causado probablemente por la hora de desvelo)

Lupe dijo...

Clara tu explicación ;)

Antonio dijo...

A mi me pareció tan absurdo eso de que la moneda tuviera memoria que supuse que el comentador estaba queriendo decir que en ese caso (99 aguilas seguidas) se trataría de una moneda con las dos caras iguales. Pero después, el mismo comentador confirmó que de verdad estaba hablando de una moneda con una función de probabilidad fuertemente sesgada hacia las águilas.

Un Abrazo.

Altamar dijo...

Miguel del Vailongo,
puede que tengas raz'on al decir que no hay un equilibrio en la moneda. Y poniendo el tema en el post, si siempre lanzas la moneda de la misma manera, con la misma fuerza, la tomas del mismo lado, la acomodas exactamente igual en tus dedos, entonces el volado se vuelve un evento determinista (que siempre va a dar el mismo resultado), y las irregularidades de la moneda vienen valiendo queso, pues si debia caer sol, basta con dejar caeer un poco m'as o menos la moneda para alterar su resultado. Pero como lanzar la moneda (con todo y la parte de la caida) de manera "IDENTICA" todas las veces es imposible, esto se vuelve est'adistico.

Ribozyme dijo...

Los volados SIEMPRE son eventos deterministas, pero caóticos, es decir, que aunque siguen todas las leyes físicas, y son perfectamente explicables por ellas, son virtualmente imposibles de predecir:

De un sistema del que se conocen sus ecuaciones características, y con unas condiciones iniciales fijas, se puede conocer exactamente su evolución en el tiempo. Pero en el caso de los sistemas caóticos, una mínima diferencia en esas condiciones hace que el sistema evolucione de manera totalmente distinta. Ejemplos de tales sistemas incluyen la atmósfera terrestre, el Sistema Solar, las placas tectónicas, los fluidos en régimen turbulento y los crecimientos de población.

Por ejemplo, el tiempo atmosférico, según describió Edward Lorenz, se describe por 3 ecuaciones diferenciales bien definidas. Siendo así, conociendo las condiciones iniciales se podría conocer la predicción del tiempo en el futuro. Sin embargo, al ser éste un sistema caótico, y no poder conocer nunca con exactitud los parámetros que fijan las condiciones iniciales (en cualquier sistema de medición, por definición, siempre se comete un error, por pequeño que éste sea) hace que aunque se conozca el modelo, éste diverja de la realidad pasado un cierto tiempo. Por otra parte, el modelo atmosférico es teórico y puede no ser perfecto, y el determinismo, en el que se basa, es también teórico.


Es decir, un sistema físíco caótico la única manera que queda para describirlo es estadística, pero eso no significa que sea realmente aleatorio. Como ya dije en un comentario previo, los únicos fenómenos realmente aleatorios son los de la mecánica cuántica.

No conozco todo lo que escribe la persona que citas, pero supongo que es uno de los comentaristas de tu post, y me da la impresión que lo que él quiere decir es que si la moneda da una combinación de resultados tan improbable (su probabilidad aproximada es de 1.6x10^-30, es decir, increíblemente pequeña), existe un sesgo en el sistema (un desbalance de la moneda), que hace que se presente. La ocurrencia de un evento tan improbable es sospechosa. Insisto en que una cosa es la teoría y otra los sistemas físicos, y estos no siempre coinciden.

controlzape dijo...

Chale. Me dí cuenta que lo escribí de forma muy pitera. En la wikipedia está más claro de qué va eso de la falacia del jugador que es la que intento explicar.

Lagartija2K dijo...

Ok, Héctor, va de nuez porque me queda claro que no entiendes mi punto de vista. Espero que estas líneas sirvan para ver la diferencia entre la probabilidad practica (estadística) y la probabilidad teórica (de Laplace)


Pregunta, ¿es cierto este planteamiento?

“frecuentemente me encuentro anuméricos que están convencidos de que si uno avienta 99 veces una moneda que ha caído en puros soles creen que la tirada número 100 es más probable que caiga un sol que un águila (lo cual es una burrada pues las monedas no tienen memoria”

Me atreví a comentar en tu post porque vi un error en tu tesis, producto de tu intento en explicar de manera “mas sencilla” un principio de probabilidad. sin embargo, al caer en la exageración de “99 veces seguidas del mismo lado” y omitir “moneda justa” (lo mencionan todas los fuentes que hacen una aseveración similar menos tú), me dio la impresión que tu mismo no entendiste lo que escribiste.

Este planteamiento lo leíste por allí pero modificaste la expresión al omitir que la moneda es justa, después en el revire lo aclaras pero dices ver alas en las monedas de la mente de quien te hace la observación etc. etc. etc. De omisiones importantes están llenos los argumentos de magusfos, como tu les dices.

Yo leí tu frase “incompleta” como datos de un experimento realizado y con esta información determiné (y cualquiera puede hacerlo) que la probabilidad práctica no era del 0.5 como tu asegurabas, pero en tu revire no explicas la diferencia y prefieres ver voluntades en las monedas de mi cabeza.

Perdón, pero la estadística y teoría de los grandes números no te dan la razón. por cierto, ¿cómo demuestras que la probabilidad de que salga sol es del 0.5? No lo puedes hacer sin estadística, y con los datos de tu planteamiento la probabilidad experimental es 1 para sol.

El empleo de la palabra “memora” fue desafortunada de mi parte, porque alimente tu afán burlón. Yo me refería a la memoria del experimento que lleva el experimentador y esos datos son los que se utilizan para calcular la probabilidad, en un evento aislado no hay esa “memoria” para hacer cálculos.



Saludos.

Pereque dijo...

7.96% para una moneda equilibrada, que yo siempre creí que era la suposición por defecto cuando uno habla de volados.

Lo que Lagartija dice se me hace más un asunto semántico que otra cosa. Para una moneda equilibrada, la probabilidad de que caiga águila o sol debe ser 0.5 porque el modelo teórico de lanzar una moneda equilibrada no permite ningún sesgo hacia ninguna de las caras. Para una moneda equilibrada, es perfectamente posible (aunque muy, muy, muy improbable) obtener 99 soles seguidos. Esos 99 soles seguidos no me parecen evidencia suficiente para detectar una moneda trucada, aunque intuitivamente es lo que uno puede esperar.

(Pero debe haber una forma física de detectar una moneda trucada además de tirarla chingomil veces, ¿no?)

Repito, esto se me hace más un asunto semántico.

Saludos.

ale dijo...

que weba da todo sto

controlzape dijo...

Clap, clap, clap de pie a Pereque.

Si siguieron la pista del triángulo de Pascal y desempolvan sus mates combinatiorias se darán cuenta que el coeficiente central del TP equivale al número de volados con resultados del mismo número de aguilas y soles.

Por ejemplo para 2 volados es 2, para 4 volados es 6, para 6 volados es 20, para 8 volados es 70, para 10 volados es 252, para 12 volados es 924, etc.

La serie 1,2,6,20,70,252,924... tiene como formula para cada n=0,n=1,n=2,n=3,n=4,n=5,n=6... (2n)!/(n!)^2

por lo tanto la probabilidad de obtener el mismo número de aguilas que de soles en 100 volados es

(2*50)!/50!^2/2^100 que da como resultado 0.0796 o como dice Pereque 7.96%

pd. Investigando sobre la física de volados, me encontré un paper de un estadístico que también hace magia que se llama Persi Diaconis que hace investigación sobre fenómenos aleatorios. En este artículo Persi Diaconis, et al establecen que la probabilidad de que un volado caiga del mismo lado que en la que comenzó la tirada, no es un 1/2. Es 0.51.

Saúl dijo...

De la última posdata se entiende entonces que la lagartija tiene razón, ¿o no?

controlzape dijo...

No. Tiene razón en la parte de que echar volados tiene un comportamiento físico calculable. Pero ello no afecta el resultado que discuto en mi post. Y ahora verás porqué.

Persi Diaconis establece que la probabilidad de un volado es 0.51 de caer del mismo lado que la aventaste. Ok. ¿Eso qué significa? Significa que SI pones la moneda del lado del aguila antes del lanzamiento tienes 0.51 probabilidades de que caiga águila y SI pones la moneda del lado de sol antes del lanzamiento tienes 0.51 probabilidadades de que caiga sol.

Enfatizo los SI’s pues lanzar una moneda, de acuerdo a Diaconis, es un evento de probabilidad condicional. ¿Pero qué pasa si de antemano no te fijas de qué lado esta la moneda antes de lanzarla? La parte condicional del postulado se pierde y entonces no queda de otra más que calcular ½ de probabilidades para aguila y otro tanto para sol.

En el ejemplo inicial no se establece de qué lado estaba la moneda antes de cada lanzamiento con lo que él calculo de ½ para sol y ½ para aguila en cada lanzamiento es válido.

Y ya. Me quedó claro que lo de 2k no es anumerismo, pero teniendo en cuenta que me pitorreo de frases como “que descance en paz”, en serio ¿esperaban que dejara pasar la frase “Aqui si hay memoria porque es la misma moneda.”?

Saúl dijo...

controlzape dijo...

¿Pero qué pasa si de antemano no te fijas de qué lado esta la moneda antes de lanzarla?

Creo que esa frase denota una petición de principio que no es válida en este caso (no tendrías porqué saberlo, hay otros factores, estas presuponiendo la aleatoriedad que quieres demostrar, etc).

Dicho de otro modo, tú crees que puedes calcular la probabilidad y el resultado es 1/2, mientras que la lagartija dice (eso creo) que la equiprobabilidad es un modelo al cual se llega ya sea por un método frecuentista (el que tú confundes con demostración), o por un método bayesiano (que es el propone la lagartija) que es el que da significado a la frase sobre la memoria de las monedas.

controlzape dijo...

Saul, esta frase no es una petición de principio. Es sencillamente una explicación a tu pregunta sobre si el paper de Diaconis da razón a lo que dice 2k.

En el planteamiento original no tiene sentido introducir una probabilidad de 0.51 para un lado y 0.49 para el otro pues de antemano no sabemos de qué lado comenzamos cada lanzamiento, pfff. Ese sería otro planteamiento y si quieres puedes desarrollarlo en tus ratos libres.

Señalas una obviedad: lo mío NO es una demostración –nunca dije que lo fuera-. Es una reflexión sobre lo ridículo que es decir que las monedas tienen memoria, aunque malciten a bayes.

O dicho de otro modo: tienes problemas de lectura.

Saúl dijo...

controlzape dijo...

–nunca dije que lo fuera-

Y antes dijo...

Nos falta otra cosa para obtener la probabilidad. Necesitamos saber cuántos de esos resultados posibles cumplen la condición de que sean 99 soles. Por extensión del diagrama que ya hemos hecho contamos que hay sólo UNA manera de obtener puros soles.

...el resultado que discuto en mi post...

Es decir, calculas probabilidades y obtienes resultados. Claramente no percibes que utilizas un principio (equiprobabilidad) que es la abstracción de una serie de experimentos (y este principio era el nudo de la discusión). Así se explica que cuando hables de tirar 99 veces una moneda, tú entiendas los 99 valores de una variable aleatoria y algún despistado (la lagartija aquí) entienda tirar 99 veces una moneda.

O, como se nota en tu respuesta, lo que tenías eran ganas de encontrar a un creyente en la falacia del jugador para exhibirlo por su "anumerismo" (¡qué emoción que escribiera eso de la memoria de las monedas!). Además, se ve que te ha afectado lo contrario del anumerismo, que es confundir los modelos con la realidad.

P.D. Si te encuentras otros artículos interesantes, no dejes de ponerlos, el de Diaconis está bueno.

controlzape dijo...

Saúl, tienes problemas de lectura serios.

Citarme no va a hacer que pruebes que yo creía que esto era una demostración. Nunca lo creí y definitivamente no lo es.

Por otra parte hace falta ser muy necio para comentarme que fallo en percibir el principio de equiprobabilidad en el ejercicio de los volados, cuando es de lo que se trata el primer corolario que escribí.

Tus reflexiones sobre lo que me emociona son incorrectas. Vuelve a tratar.

Sugerencia: En tu siguiente participación trata de no autoensartarte; contestarte se está volviendo tan aburrido como alimentar a un troll.

Saúl dijo...

controlzape dijo...

es de lo que se trata el primer corolario que escribí

¿corolario de qué, si se puede saber? (Es rara la frase, si insistes que no demuestras nada).

Sólo para el eventual distraído que crea que sabes algo del tema, hay que decir que lo de la memoria de las monedas no es ningún disparate. Así como lo de la equiprobabilidad de águila o sol, es una hipótesis que un sistema real dado puede satisfacer o no. Incluso hay casos, en que, con memoria y todo, la probabilidad a largo plazo es 1/2:

http://www.mathpages.com/home/kmath570/kmath570.htm

No me extiendo más para no aburrirte, pero si crees que soy un troll, no deberías alimentar al troll.

O, puedes insistir en lo de mis problemas de lectura y quedar en paz con tu autoestima (después de todo, se te juzga por tus legendarios revires y no por tus argumentos).

P.D. Insisto en que las ligas que luego pones son buenas, deberías poner más.

controlzape dijo...

Juar, aquí el eventual distraido eres tú. Hay tres corolarios en el post. Si preguntas donde está el primero es que no has leido nada y nomás estás haciendote guey.

Ya váyase a trollear a la más vieja de su casa.

Cazador de Tatuajes dijo...

y tooooooodo por una pinche monedita. ¿te imaginas que hubiera sido una sandia? ¡mi madre!

(aplauso a quien cacte la cita)

Anónimo dijo...

Calcular la posibilidad de que caiga cara o cruz una moneda en un volado es muy facil, sin embargo hay aun una tercera posibilidad (si bien es muy pequeña, parece que no se toma muy en serio) y es que caiga de canto. Otro aplauso a quien calcule la posibilidad e que caiga de canto.

Anónimo dijo...

Zape, acepta que saul te ensarto y deja de hablar de probabilidad si no sabes bien de que se trata.

corolario:Proposición que no necesita prueba particular, sino que se deduce fácilmente de lo demostrado antes.

Saul se refiere a que generalmente un corolario aparece despues de un teorema y se le hace raro que los uses despues de un post.

controlzape dijo...

Lo que sé es que decir que una moneda tiene memoria es una burrada. Por más constructos que se quieran inventar. Y sé lo suficiente de probabilidad para pitorrearme de ello aunque a tí no te guste.

La palabra corolario tiene más sentidos que ese que copiaste de la RAE (como si fuera el único diccionario de español).

Y aquí el único que se autoensartó fue Saúl. Reclamarme que no menciono equiprobabilidad sólo demostró que no había leido ni madres.

Meterse a discutir un post mío sin leerlo nomás demostró que esta trolleando; si tú lo quieres defender porque te entusiasma la manera en que se autoensarta, adelante.

barto dijo...

Y sé lo suficiente de probabilidad para pitorrearme de ello...

Juar, juar, juar. Sicierto, tristes magufos, ni explicandoles con piedritas agarran la onda. Pero no te amuines, asi son los charlatanes, no tienen autocritica.

Solo queda luchar quijotescamente contra sus absurdos, revirando sus tonterias, aunque sean malagradecidos.

Y ojales.

Y piteros.

Chale, pinches ardidos.

Anónimo dijo...

Posibilidad final. Todos están para llorar. Estadísticamente son todos malísimos para resolver ecuaciones. primero observar el ambiente en el que se tira la moneda, viento, sonido, peso, fuerza, altura de la mano, posición de la mano, posición del cuerpo, gravedad, altura etc cuando tengan una variable perfectamente controlada de eso lo multiplican por el número de veces, mientras tanto la variable sigue siendo 1/2 para sol y lo mismo para aguila, ya que si no tienen las mismas condiciones no se puede valorar como una constante.

Anónimo dijo...

SALUDOS, ME PARECE EXCELENTE SU ANALISIS DEL EVENTO DE LOS VOLADOS, Y SI SE HABLARA DEL ORIGEN DEL UNIVERSO? ME GUSTARIA VER SUS COMENTARIOS
P.D.- MUY AGRADABLE EL SARCASMO DEL PROPONENTE
JEJE